Capítulo 2. Análisis de las dimensiones y el formato del folio.

Antes de abordar el análisis geométrico de la representación del “Hombre de Vitruvio” es necesario subrayar la importancia de conocer las dimensiones exactas del folio y la longitud de los lados del cuadrado, de la cual se infiere la medida del radio del círculo. Para el estudio de su relación con el formato de la cuartilla hemos tenido que comprobar que la imagen digital empleada se ajusta a la realidad del folio original, ya que un error en la determinación de sus dimensiones podría alterar significativamente los resultados. Según Frank Zöllner, el folio mide 344,00 x 244,00 mm, aunque este dato no es del todo correcto [1].

Valeria Poletto, directora del Gabinetto di disegni e stampe de la Galleria de l’Academia de Venecia, nos ha confirmado que sus dimensiones son 345,00 x 246,00 mm, y éstas son las que hemos considerado para realizar el escalado digital de la imagen. Pero, como hemos dicho, con esto no es suficiente, también necesitamos conocer, con la mayor exactitud, la longitud de la regla que dibujó Leonardo bajo el cuadrado es la misma que la de sus lados; la base del patrón antropométrico que se rige por la altura del hombre del canon. La extrapolación de esta medida a partir de las dimensiones del folio no es sencilla, el más pequeño error en el escalado de la imagen puede producir desviaciones de hasta 2 mm.

Por las investigaciones de Claudio Sgarbi sobre la ilustración del “Hombre de Vitruvio” de Giacomo Andrea sabemos que, además de la enorme similitud en la disposición de las figuras en las que se inscribe el hombre del canon, la longitud de los lados del cuadrado es la misma en los dos casos: 180,00 mm. Con este dato, realizamos un primer escalado de la imagen digital considerando que las dimensiones máximas del folio son 345,00 x 246,00 mm. Para corroborar este dato hemos contado con la ayuda de Luis Castaño, quien afirma haber podido medir la regla y que su longitud es, en efecto, de 180,00 mm [2]. Esta debería ser, por tanto, también la medida de los lados del cuadrado, sin embargo, la lectura no es tan fácil ya que sus longitudes oscilan entre los 179,60 mm y los 180,00 mm [3].

Finalmente, la confirmación de estas medidas ha sido posible gracias a la colaboración de Martin J. Kemp, quien se prestó a corroborarlas sobre un facsímil que se guarda en el Departamento de Historia de la universidad de Oxford [4]. Como ha podido confirmar, la regla mide 180,00 mm. También ha podido comprobar que los lados del cuadrado presentan ligeras desviaciones, aunque en ningún caso sus medidas son inferiores a 179,00 mm ni superiores a 180,00 mm. La media ponderada de las longitudes de los lados según el escalado de la imagen digital y las mediciones de Luis Castaño y Martin Kemp es, por tanto, de 179,74 mm (Tabla I). 

 

Tabla I. Medidas del cuadrado en el que se inscribe el “Hombre de Vitruvio” y media ponderada.

Segmento

Valor 1

Valor 2

Valor 3

Media

Lado superior

180,00 mm

179,00 mm

180,00 mm

179,67 mm

Lado inferior

180,00 mm

180,00 mm

180,05 mm

180,02 mm

Lado derecho

180,00 mm

179,00 mm

179,98 mm

179,66 mm

Lado izquierdo

179,00 mm

180,00 mm

179,80 mm

179,60 mm

Media

179,75 mm

179,50 mm

179,97 mm

179,74 mm

Tabla I. Medidas del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon según Luis Castaño (valor 1), según Martin J. Kemp (valor 2) y según la imagen digital empleada en este trabajo (valor 3), una vez escalada para unas dimensiones de la cuartilla de 345,00 x 246,00 mm y de 180,00 mm para la regla dibujada por Leonardo.

 

En las notas del folio Leonardo se refiere a un cuadrado perfecto, por lo que podemos considerar que, teniendo en cuenta las desviaciones propias de un dibujo sobre el papel, la medida de los lados del cuadrado, cuya media es 179,74 mm, es la longitud indicada por la regla, es decir, 180,00 mm (± 0,26 mm). Es complicado en un dibujo a tinta y lápiz obtener una precisión inferior a la de una milésima por metro. Si trazamos un cuadrado de 10 cm con una pluma cuya punta tenga el grosor de 1 mm tendremos un margen de error que será, como mínimo, del mismo orden de magnitud. A pesar de ello, el trazado de Leonardo es extremadamente riguroso si consideramos los posibles errores debidos al manejo de la regla y el compás, que se acumulan tras cada uno de los movimientos. Actualmente, los ordenadores nos ofrecen una precisión que hubiese dejado estupefacto al artista italiano. Ahora tenemos reglas divididas en milímetros; pero la suya no era ni muchos menos tan exacta. Como escribió en las anotaciones del folio respecto a las unidades del canon antropométrico:

Vitruvio, el arquitecto, explica en su obra sobre arquitectura que la naturaleza dispone las medidas del cuerpo humano de la siguiente manera: una palma es la anchura de cuatro dedos, un pie es la anchura de cuatro palmas, un antebrazo es la anchura de seis palmas, la altura de un hombre son cuatro antebrazos, un paso son cuatro antebrazos y veinticuatro palmas son un hombre. Estas eran las medidas que usaba en sus edificios.

La altura del hombre del canon es, por tanto, de 24 palmas y cada palma se divide en 4 dedos, la unidad métrica del sistema como está indicado en la regla (Figura 2).

Figura 2. Las divisiones de la regla indican que la altura del hombre del canon es de 24 palmas, tal y como está descrito en el tratado de Vitruvio y recoge Leonardo en las notas que aparece debajo de la misma [5].

 

Si la longitud de la regla es 180,00 mm (± 0,26 mm), entonces la unidad mide 1,875 mm (180,00 mm entre 96 dedos), lo que significa que Leonardo trabajaba con la mitad de la precisión que nos ofrece el sistema métrico decimal. El hecho que esta medida se corresponda con el valor de una palma, unidad cuyos orígenes se remontarían al sistema métrico griego del que habría partido Vitruvio para su descripción del canon, refuerza el dato de que es un valor correcto. Las divisiones en los extremos de la regla son claras en este sentido. Si tiene una longitud de 180,00 mm, cada una de las 24 partes mide 7,5 mm, es decir, el valor teórico de 1/10 de palma [6].

Con estos datos hemos establecido la escala de la imagen digital del folio en 100 píxeles por milímetro, por lo que la regla mide 1800 píxeles o 180,00 mm (± 0,26 mm). La imagen tiene unas dimensiones de 2584 x 3569 píxeles, una resolución de 300 pp y una profundidad de 24 bits (Figura 3).

Figura 3. El “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci. Dibujo a tinta y lápiz sobre papel (carta bianca de 345,00 x 246,00 mm) y escala digital de 10 píxeles por milímetro considerando que la regla tiene una longitud de 180,00 mm (± 0,26 mm).

 

Una vez establecidas las dimensiones máximas del folio y las medidas de la regla y los lados del cuadrado, veamos qué podemos decir sobre el formato de la cuartilla que empleó Leonardo. Resulta extraño que nadie haya reparado en las proporciones del marco que escogió para su representación. Se trata de un rectángulo que se construye llevando la diagonal de un cuadrado sobre la prolongación de su base, por lo que los lados guardan una proporción que es igual a la raíz cuadrada de 2 (Figura 4).

Figura 4. Las proporciones del folio que empleó Leonardo para la representación del “Hombre de Vitruvio” son las de un rectángulo raíz cuadrada de 2. Considerando sus dimensiones los lados guardan una proporción de 246,00/345,00 mm = 1,4; una aproximación del 99,17%, equivalente a una razón de 7/5.

 

Es un marco que parte del cuadrado para la definición de la longitud del rectángulo. Sus raíces se encuentran en el sistema de proporciones más empleado por los ingenieros y constructores romanos por su capacidad para realizar todo tipo de trazados, y es por ello que es considerado uno de los doce ortoedros más apreciados en la tradición de la arquitectura[7]. Era un formato conocido durante el Renacimiento, precisamente, por la influencia del tratado de arquitectura de Vitruvio. Muchos de los manuscritos de Leonardo que se conservan guardan una relación entre sus lados de 7/5 = 1,4. Al parecer era uno de los sus formatos preferidos, lo que es lógico sabiendo las interesantes propiedades geométricas de este tipo de rectángulos.

No es una casualidad que sea el mismo formato en el que se basa la actual industria papelera para establecer el estándar DIN[8]. La idea subyacente del modelo es una cuestión meramente práctica, pero ilustra la versatilidad de un sistema de proporciones en función de la raíz cuadrada de 2. Consiste en buscar la mejor manera de aprovechar el papel de forma que al recortarlo disminuyan los costes de producción. En la denominada serie A, la plantilla base es una resma de papel, denominada A0, que tiene una superficie de un metro cuadrado. En un pliego de papel que tenga este formato, sus lados siempre guardan una proporción tal que, dividiéndolo por la mitad de su longitud; cada una de las mitades sigue guardando la misma proporción que la del pliego inicial. Para que se cumpla esta propiedad, los lados del rectángulo deben guardar la siguiente relación, siendo x e y los lados mayor y menor:

 Las dimensiones del folio empleado por Leonardo son ligeramente superiores a las del formato de un DIN-A4 (345,00 x 246,00 mm frente a 297,00 x 210,00 mm respectivamente); pero las proporciones son las mismas y están determinadas en la raíz cuadrada de 2. En la siguiente imagen hemos superpuesto la representación del “Hombre de Vitruvio” sobre la plantilla del conjunto de estándares ISO 216 del sistema métrico decimal. No es extraño que escogiese para muchas de sus ilustraciones el mismo formato que cinco siglos después sería el estándar de los tamaños normalizados para la fabricación de papel en el mundo (Figura 5).

Figura 5. Formato de papel ISO 216. El folio empleado por Leonardo vendría a ser un DIN A4.

 

El hecho que las proporciones del folio sean las de un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2 refuerza la hipótesis sobre la importancia del marco en la composición. Leonardo habría sido muy cuidadoso a la hora de elegir el formato, y explicaría que se decantara por una figura que, además de recoger lo mejor de la tradición vitruviana, le ofrecía un marco flexible, con unas propiedades geométricas aplicables mediante la regla y el compás, lo suficientemente versátil para vertebrar su representación del “Hombre de Vitruvio” según las reglas de proporcionalidad y semejanza aplicables a este tipo de rectángulos (Figura 6).

Figura 6. Reglas de división de un rectángulo según criterios de proporcionalidad y semejanza.

 

Como veremos, el análisis geométrico indica que Leonardo habría empleado la regla de referencia propia de este tipo de rectángulos para establecer las líneas vertebradoras del trazado y garantizar de este modo el vínculo entre las partes, las figuras del círculo y el cuadrado, y el conjunto, es decir, el marco de la composición en base a dichas proporciones.

 

 

 


 

[1] Zöllner, Frank, “L’uomo vitruviano di Leonardo da Vinci, Rudolf Wittkower e l’angelus novus di Walter Benjamin”, extracto de Raccolta Vinciana, Fascículo XXVI, Milán.

[2] Según Luis Castaño, la medida de la regla es un dato que tendría una gran importancia para los estudios de metrología de los sistemas de medidas del mundo antiguo y su presunta relación con la representación de Leonardo. En relación a esta unidad métrica desarrolla sus investigaciones sobre los sistemas de medidas antiguos, el sistema métrico decimal y su relación con un supuesto canon basado en un hombre cuya altura es 1,80 m.

[3] Como apunta Luis Castaño, la longitud del lado izquierdo del cuadrado es algo menor que la del resto de lados (179,00 mm). La figura no es perfecta, como sucede con la del círculo. Ambas presentan ligeras irregularidades, tanto en la perpendicularidad como en las longitudes de los lados del cuadrado y el perímetro del círculo. Es normal tratándose de un trazado con regla y compás sobre el papel. A pesar de ello, la precisión que logró Leonardo es asombrosa. Debió practicar mucho antes de realizar el boceto definitivo.

[4] da Vinci, Leonardo, “Le proporzione del corpo umano secondo Vitruvio, Litografia del disegno di Leonardo”. Electa, Soprintendenza per i Beni Artistici e Storici di Venezia, Milán, 1999, edition of 1,000.

[5] La cuadrícula de 24 palmas, que utilizamos en algunas de las imágenes de este artículo para ilustrar las razones geométricas de la relación del cuadrado y el círculo y sus correspondencias con las proporciones del folio, también ha sido estudiada por Luis Castaño, quien desarrolla sus investigaciones metrológicas en relación al “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci y a un supuesto canon basado en un hombre de 1,80 m. Castaño Sánchez, Luis, op. cit., “Metrología Histórica: Una nueva propuesta” (p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12), op. cit., “La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio” y op. cit., “Estudio sobre el “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci”, http://independent.academia.edu/LuisCastaño. Por otro lado, y respecto a dicha cuadrícula, Manuel Franco Taboada también se ha ocupado del estudio de la cuadrícula de 24 palmas en relación al sistema de medidas de origen griego descrito en el tratado del arquitecto romano. Franco Taboada, Manuel, “La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio”, http://www.arqweb.com/vitrum/La cuestión del centro de la figura humana, a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio.

[6] El redescubrimiento de Platón, propiciado por la reedición del tratado de Vitruvio que fue difundido por Petrarca, inspira las teorías métricas durante el Renacimiento. Según algunos investigadores, el origen de este modelo antropométrico se remontaría al sistema metrológico griego y éste, a su vez, al antiguo sistema de medidas egipcio. Como indica Luis Castaño, el llamado “Patrón de Maya”, un listón de madera del siglo XIV a.C., mide 525 mm y está dividido en 7 palmas, por lo que cada palma mide 75,00 mm, un patrón que, por otro lado, como él mismo advierte, se remontaría al modelo de medidas sumerio, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta” (pp. 14-16, pp. 18-19) y op. cit. “Estudio sobre el “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci” (p. 6). Según Frank Zöllner, los orígenes del sistema métrico y, por lo tanto, de las razones de la cuadrícula de 24 palmas en la que se basó Leonardo para dibujar el “Hombre de Vitruvio” se encuentran en la antigua Grecia. Como él mismo escribe: «el sistema metrológico de origen griego es un modelo antropométrico basado en un sistema duodecimal de particiones (3, 4, 6, 12, 24, 48 y 96) en función de la altura del hombre según patrones de antiguos cálculos fraccionarios, cuyo uso puede remitirnos a la práctica de la arquitectura». Frank Zöllner, “L’uomo vitruviano di Leonardo Da Vinci, Rudolf Wittkower e l’Angelus Novus di Walter Benjamin. Estratto da Raccolta Vinciana”, Fascículo XXVI, p. 335. Para Stephen Skinner los orígenes del sistema de medidas antropométrico vitruviano en base duodecimal recogido por Leonardo se remontarían al antiguo Egipto: «el Hombre de Vitruvio, obra de Leonardo, cuyo propósito original era mostrar cómo la medida del codo de los antiguos egipcios podía aplicarse a las dimensiones del hombre.» Skinner, Stephen, “Geometría Sagrada”, Ediciones Gaia, 2007, Madrid, ISBN 978-84-8445-201-0, p. 129.

[7] Los agrimensores y constructores romanos, como recoge Vitruvio en su tratado, conocían bien la forma de trabajar con este tipo rectángulos, y los empleaban tanto para realizar las proyecciones topográficas y establecer las lindes de las parcelas agrícolas como en los trazados de las ciudades, los campamentos e incluso los edificios mediante el uso de cuerdas, estacas y otros instrumentos de medición.

[8] Formatos que se encuentran recogidos en las normas ISO 216 e ISO 416. Los tamaños de papel normalizados ISO son los establecidos por las normas DIN alemanas en 1922, que fueron sucesivamente aceptados por otros países europeos. Las normas DIN, en lo referente a tamaños de papel, determina un formato básico basado en un rectángulo de 1 m2 de superficie cuyos lados mayor y menor guardan una relación igual a raíz cuadrada de 2. De estas dos condiciones se obtiene un rectángulo cuyos los lados miden 1189 x 841 mm, las medidas del formato básico de la llamada serie A0, el resto se determinan en base a esta razón.