Capítulo 3. El área teórica de trazado en base al rectángulo raíz cuadrada de 2.

Antes de abordar la construcción de las figuras en función de las proporciones del folio es necesario aclarar que para que el trazado sea exacto hay que restar unos márgenes a sus dimensiones máximas, aunque sin alterar sus proporciones de 7/5 ≈ √2. Con esta corrección se sitúan en su correcta posición respecto a los márgenes verticales. Las dimensiones del folio no se corresponden con las de un rectángulo perfecto por la falta de perpendicularidad. Si como creemos, Leonardo tuvo que apoyarse en las referencias indicadas por este marco, no hubiera podido hacerlo desde los bordes mismos de la cuartilla, ya que es prácticamente imposible disponer de un punto a partir del cual asegurar el trazo al no haber espacio para colocar la punta del compás. Por otro lado, sin un área completamente regular que sirva para acotar el área del dibujo las figuras no quedarán centradas respecto a los márgenes, como de hecho se observa. El eje vertical sobre el que se sitúan los centros del círculo y el cuadrado, en el ombligo y el sacro, no se encuentran a la misma distancia de los márgenes a derecha e izquierda; para que éstos queden centrados tenemos que restar 2 mm al lado derecho.

Lo más lógico es que hubiese contemplando un marco para desarrollar su estrategia geométrica, que habría aprovechado para fijar la cuartilla, centrar la composición y garantizar, mediante una serie de referencias, la rigurosidad del trazado. Si consideramos las dimensiones máximas del folio (345 x 246 mm), tenemos que los lados del rectángulo guardan una proporción de 1,4. Si aplicamos el método que vamos a desarrollar en base a esta razón, el resultado no es el esperado, aunque tiene su explicación. La longitud de la regla a la que llegamos es un segmento de 184,5 mm; una desviación considerable que se hace más evidente aún en el diámetro del círculo derivado.

Sin embargo, esto no significa que el trazado propuesto sea incorrecto, únicamente que hay que establecer unos márgenes, sin alterar sus proporciones, para que sea del todo exacto. Una corrección pasa por restar 2,79 mm a los márgenes superior e inferior y 3,00 mm al derecho y al izquierdo. De esta forma queda definido un rectángulo cuyos lados guardan una proporción igual a la raíz cuadrada de 2 = 1,41; frente a una proporción de 7/5 = 1,4; que es la que se desprende de las dimensiones máximas del folio.

Una vez aplicada la corrección, la base del rectángulo mide 240,00 mm y su longitud es, por tanto, de 240 mm x √2 = 339,41 mm. En la Tabla II se puede ver que a partir de la base y una razón de 3/4 = 0,75; cuya función inversa es 4/3 = 1,333, podemos obtener un segmento que mide 180,00 mm. 

 

Tabla II. grado de precisión de la relación entre las dimensiones máximas del folio y el área de teórica de trazado con la longitud de la regla.


Rectángulo

Ancho (a)

Largo (b)

Razón (a/b)

Aprox. √2

Regla (c)

Razón

Aprox. (a/c)

Folio

246,00 mm

345,00 mm

1,402

99,17%

180,00 mm

1,367

97,56%

Marco

240,00 mm

339,41 mm

1,414

100,00%

1,333

100,00%

Tabla II. Para una proporción de 4/3 la relación entre el rectángulo raíz cuadrada de 2 y la longitud de la regla dibujada por Leonardo en el folio es exacta si aplicamos unos pequeños márgenes, que en ningún caso alteran sus proporciones, para garantizar el centrado y la perpendicularidad del marco de partida del trazado.

 

De ahora en adelante nos referiremos a este rectángulo de 339,41 x 240 mm indistintamente con los nombres de “área teórica de trazado” o “marco principal”. En la siguiente imagen se puede apreciar que la diferencia entre las dimensiones máximas del folio y las del “marco principal”, una vez establecidos los márgenes, es muy pequeña, aunque como hemos dicho, es esencial para dibujar el círculo y el cuadrado en función de las proporciones del folio (Figura 7).  

Figura 7. En amarillo el rectángulo correspondiente a las dimensiones máximas del folio (345,00 x 246,00 mm) y de color rojo el correspondiente al área teórica de trazado una vez establecidos los márgenes que ayudan a centrar horizontalmente la composición (339,41 x 240,00 mm).

 

En la siguiente imagen se puede apreciar el grado de error del trazado que vamos a desarrollar en función de las proporciones del folio si partimos de sus dimensiones máximas. La aproximación es de un 97,56% (Figura 8).

Figura 8. De color amarillo el cuadrado de 184,50 mm y la circunferencia resultantes de aplicar el trazado partiendo de las dimensiones máximas del folio (345,00 x 246,00 mm). El resultado es una aproximación de un 97,56%.

 

De entrada, no deja de ser un resultado interesante. El círculo y el cuadrado aparecen prácticamente ubicados en su posición respecto a al margen superior e inferior, solo 2 mm por encima de lo que se observa en la imagen digital, y sus dimensiones son bastante aproximadas. Contemplando la imagen se hace evidente que guardan una proporcionalidad con el formato de la cuartilla y que solo es cuestión de aplicar una corrección para conseguir que encajen en su lugar y tengan las dimensiones correctas. Si la aplicamos y centramos horizontalmente las figuras dentro del nuevo rectángulo de 339,41 x 240,00 mm [1] tendremos como resultado que son calcadas a las dibujadas por Leonardo (Figura 9).

Figura 9. De color rojo el “área teórica de trazado” o “marco principal”, un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2 que mide 339,41 x 240,00 mm, una vez aplicada la corrección de los márgenes, y las figuras del círculo y el cuadrado obtenidas con el modelo en función de las proporciones del folio.

 

Las discrepancias de la aplicación del trazado a partir de las dimensiones máximas del folio o del “marco principal” ponen en evidencia una precisión equivalente a una razón de 7/5 (1,4) frente a otra más precisa que es igual a la raíz cuadrada de 2 (1,412). De todos modos, son diferencias que no afectan a la razón entre las figuras del cuadrado y el círculo y de éstas con el formato de la cuartilla, ya que se trata de un cálculo proporcional. La reducción de un rectángulo de 345,00 x 246,00 mm a otro de 339,41 x 240,00 mm no altera sus proporciones. Esto refuerza nuestra hipótesis, ya que se cumpliría la regla de referencia que habría utilizado Leonardo para garantizar, con independencia de las medidas del folio, que la razón entre ellas y su relación con el formato de la cuartilla fuesen las mismas para todas las escalas.

 

 

 


 

[1] El trazado en función de las proporciones del folio es muy sensible a la propagación de errores. Si partimos de un marco de 339,41 x 240,00 mm, un error de tan solo 1 mm en la determinación del centro del círculo dará como resultado un radio 1 mm más pequeño o más grande, que al multiplicarlo por 2 y por el número π para obtener el perímetro de la circunferencia, a pesar de ser porcentualmente el mismo grado de error, hará que éste aumente hasta los 6,20 mm.