Capítulo 4. Construcción del cuadrado en función del “marco rector”.

Según Frank Zöllner, el canon antropométrico de Vitruvio tiene sus orígenes en la práctica de la arquitectura en la antigua Grecia, un sistema métrico cuya serie fraccionaria es 3, 4, 6, 12, 24, 48, 96. Lo más destacado de este modelo de particiones es la definición de las proporciones de las partes del cuerpo humano como fracciones de la altura total del hombre, como ha sido preceptivo desde los orígenes de la arquitectura y la escultura, y en donde las dimensiones se definen como las partes de una magnitud previamente establecida [1].

Hay un análisis realizado por Ernesto Fernández que reproducimos por su capacidad para expresar gráficamente el conjunto de relaciones que se desprenden de la división del cuadrado en cuatro partes [2]. Leonardo, siguiendo las indicaciones del canon de Vitruvio, indicó con varios segmentos sobre la figura del cuerpo humano. Las divisiones realizadas a la altura del pecho, el sacro y las rodillas no tienen nada de aleatorio, son las indicadas por las intersecciones de las diagonales que unen los puntos medios de los lados del cuadrado y forman un polígono de ocho lados conocido como Estrella de Brunés [3] (Figura 10).

Figura 10. Divisiones sobre el cuerpo del hombre del canon (de color amarillo) y correspondencias con las intersecciones de las diagonales de los puntos medios de los lados del cuadrado.

 

Las correspondencias con las intersecciones de los lados de la Estrella de Brunés son consecuencia del sistema de particiones descrito por Vitruvio. El análisis de Ernesto Fernández es sumamente interesante porque es una forma de ver el orden geométrico subyacente que no solo es aplicable a las dimensiones del cuadrado, sino también al marco global del folio. La altura del hombre del canon es de 24 palmas, como escribió Leonardo en la nota bajo la regla, o de 4 codos de 6 palmas cada uno, tal y como indican las divisiones de los extremos de la misma (Figura 11).

Figura 11. Cuadrícula de 4x4 codos y divisiones sobre la figura del cuerpo humano (de color amarillo). Obsérvense las divisiones en los extremos de la regla correspondientes a las 6 palmas que hacen 1 codo [4].

 

Para la construcción del cuadrado a partir de las proporciones del folio vamos a seguir un “orden modular” similar indicado por el canon. Partiendo del área teórica de trazado, vamos a aprovechar las propiedades del rectángulo raíz cuadrada de 2 para establecer las líneas que servirán de referencia para los movimientos de regla y compás necesarios. La magnitud previamente establecida será la base del folio, unidad respecto a la que el resto estarán vinculadas por una serie de razones geométricas.

Una vez aplicada la corrección de los márgenes, procedemos a establecer el cuadrado base del que se obtiene la longitud del rectángulo raíz cuadrada de 2 a partir de un marco de 339,41 x 240,00 mm. A continuación, con las diagonales (EFCD) determinamos el centro. Este cuadrado, al que nos referiremos como “marco rector” para diferenciarlo del dibujado, es el eje vertebrador de la composición (Figura 12). Al hacer este marcaje, lo primero que advertimos es que el lado superior del “marco rector” coincide con la posición de los brazos en cruz, en el punto donde los dedos tocan el cuadrado (Figura 13).

Figura 12. Área de trazado y “marco rector” (CC’DD’) formado por el abatimiento de la hipotenusa (DC’) sobre la base del cuadrado (CD), de donde se obtiene un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2 (ABCD). 

Figura 13. El punto donde los dedos medios del hombre del canon tocan el cuadrado que es igual a su altura coincide con el lado superior del “marco rector” (C’D’).

 

El lado superior del “marco rector” coincide también con un segmento que Leonardo trazó entre los hombros, bajo las clavículas, la línea guía que necesitaba para comenzar el trazado en función del rectángulo raíz cuadrada de 2 (Figura 14).

Figura 14 - Detalle del segmento dibujado entre los hombros, a la altura de los brazos extendidos en cruz, en el punto donde los dedos del hombre del canon tocan los lados del cuadrado coincide con el lado superior del “marco rector” (C’D’).

 

Al igual que la altura del hombre del canon es de 4 codos, vamos a dividir el “marco rector” (ABCD) en 4 partes para hallar el centro. Para ello nos serviremos de las diagonales del rectángulo que se forma en la mitad superior del cuadrado del “marco rector” (ABEF). El punto de intersección de éstas con el eje vertical de la cuartilla es el centro buscado, el punto donde ubicar el sacro. Leonardo aplica el orden modular del canon de forma que la ubicación del centro del cuadrado en el que se debe inscribir el hombre del canon sea coherente con la longitud del folio (Figura 15).

Figura 15. Determinación del centro del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon (o) mediante la división del “marco rector” (CC’DD4) en 4 partes iguales (D1, D2, D3 y D4).

 

Obsérvese el grado de precisión alcanzado en la determinación de la posición en el folio del centro del cuadrado, a 3/4 partes de la longitud del “marco rector”, donde se sitúa el sacro/coxis del hombre del canon (Figura 16).

Figura 16. Detalle del trazado basado en la división en 4 partes iguales del “marco rector” para hallar el centro del cuadrado correspondiente a la ubicación del sacro/coxis del hombre del canon (o). Como se puede comprobar el punto D3, en las 3/4 partes del “marco rector”, acota perfectamente la posición del centro de la figura del cuadrado.

 

Una vez hallado el punto donde se ubica el centro de la figura del cuadrado, ahora es momento de determinar la longitud de sus lados que, como sabemos, tiene que ser de 180,00 mm. Producto de la planificación geométrica, la medida buscada está implícita en el movimiento anterior. El punto donde se ubica el sacro queda situado a 180,00 mm del borde inferior del área teórica de trazado, que es la longitud que ha de tener el lado del cuadrado, por lo que solo tenemos que indicar las diagonales del rectángulo que se forma desde el punto hallado hasta el borde inferior del “marco rector” (CD3) y en su intersección con el eje vertical (x) colocar el centro del compás. A continuación, y con una abertura también hasta el borde inferior trazamos un círculo (xo’). Su diámetro es el lado inferior del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon (z1z2), donde se sitúa el sacro. De una forma sencilla, hemos hallado la longitud del lado del cuadrado y su posición en la cuartilla (Figura 17).

Figura 17. Trazado del lado inferior del cuadrado en base al “marco rector” cuya longitud es 180,00 mm (2oa).

 

Solo ha sido necesario dividir el “marco rector” en 4 partes para hallar la longitud de los lados del cuadrado. Tenemos, por lo tanto, que la razón que vincula el cuadrado con la base del rectángulo raíz cuadrada de 2 es una proporción de ¾:

Es un resultado exacto en función de una fracción de números enteros. El cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon está implícito en el diseño de la composición desde el mismo momento en que establecemos el “marco principal” de 339,41 x 240,00 mm y el “marco rector” de 240,00 x 240,00 mm. Es un método extremadamente adecuado dado el sistema de particiones del canon descrito por Vitruvio, pues al basarse en el 4 y el 6 y, ampliado a sus factores primos, también en el 2 y el 3, es una razón que aparece de forma natural. Solo queda trazar el cuadrado a partir de este segmento. Así tenemos que, tanto la ubicación del centro de la figura respecto a las proporciones del folio como sus dimensiones se resuelven con solo un movimiento de compás si consideramos los puntos de referencia indicados por el “marco rector”. El resultado, como se puede ver en las siguientes imágenes, es el de un cuadrado idéntico al dibujado por Leonardo (Figuras 18 y 19). 

Figura 18. Trazado del cuadrado a partir del lado inferior (z1z2), segmento obtenido en el paso anterior indicado por la división en 4 partes iguales del “marco rector". 

Figura 19. Aproximación del trazado a partir de un área teórica de 339,41 x 240,00 mm al cuadrado cuyos lados miden 180,00 mm. El resultado es un cuadrado idéntico al dibujado por Leonardo.

 

 

 


 

[1] «La disposición de los templos depende de la simetría, cuyas normas deben observar escrupulosamente los arquitectos. La simetría tiene su origen en la proporción, que en griego se denomina analogía. La proporción se define como la conveniencia de medidas a partir de un módulo constante y calculado y la correspondencia de los miembros o partes de una obra y de toda la obra en su conjunto. Es imposible que un templo posea una correcta disposición si carece de simetría y de proporción, como sucede con los miembros o partes del cuerpo de un hombre bien formado.» Vitruvio Polión, Marco, “Los diez libros de arquitectura”, Lib. III, cap. I, Alianza Editorial, 1995, ISBN: 84-206-7133-9, pp. 82.

[2] Fernández, Ernesto, “Platón, Leonardo y el Sistema del Monte Carmelo (reflexiones sobre los principios de la medida”.

[3] La Estrella de Brunés se construye con las diagonales que unen los puntos medios de los lados de un cuadrado con sus vértices. Se llama así por Tons Brunés, arquitecto danés del siglo xx que la empleó para analizar las proporciones de edificios, monumentos y otras obras de arte de la antigüedad.

[4] Castaño Sánchez, Luis, op. cit., “Metrología Histórica: Una nueva propuesta” y op. cit. “Estudio sobre el “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci”; Franco Taboada, Manuel, op. cit. “La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio”.