Capítulo 5. Construcción del círculo a partir del cuadrado y el “marco rector”.

Veamos a continuación cómo hallar el círculo en el que se inscribe el hombre del canon. Con esta operación obtendremos la razón de su relación con la figura del cuadrado, un aspecto esencial para profundizar en la dimensión geométrica de la ilustración. Según la teoría más difundida, Leonardo halló el punto donde situar el ombligo (c) a partir de la sección áurea de su altura (ab) o, lo que es lo mismo, de la longitud del lado del cuadrado (Figura 20).

Figura 20. Posición del ombligo del hombre del canon en función de la sección áurea del lado del cuadrado que es igual a su altura (ab/bc = bc/ca = 1,618…).

 

Quienes no creen que utilizara el Número de Oro argumentan que el resultado de aplicar la sección áurea no es del todo exacto y que no hay ninguna mención al respecto en las anotaciones del folio [1]. Si buscamos el punto que debería corresponderse con el ombligo vemos que se sitúa a 180,00 mm x 1,618 = 111,25 mm de la base del cuadrado, es decir, más de 2,00 mm por encima de lo que se observa en la imagen (Figura 21).

Figura 21. Detalle del punto señalado por la sección áurea del lado del cuadrado. Como se puede ver queda bastante por encima de la posición de la posición del ombligo.

 

Podría parecer una diferencia despreciable, pero no lo es. Si en lugar de considerar solo el radio nos fijamos en el diámetro del círculo tenemos que debería medir 111,25 mm x 2 = 222,50 mm; mientras que según la imagen digital su longitud es de 218,36 mm (± 0,56 mm). La desviación se multiplica por 2, llegando a alcanzar 4,14 mm, demasiado considerable para atribuirla a un fallo de Leonardo; y es que los vértices superiores del cuadrado casi quedan inscritos en el círculo. Ante la evidencia de la imagen anterior, estamos convencidos de que no obtuvo el radio del círculo en el que se inscribe el hombre del canon con la sección áurea, por lo que el cociente de su relación con la longitud de los lados del cuadrado no es el Número de Oro (Figura 22). 

Figura 22. Círculo obtenido con la sección áurea a partir de la altura del hombre del canon. Su diámetro mide 111,25 mm, un valor muy por encima de la medida ponderada que se desprende de la imagen digital del folio. Como se puede ver, la desviación es tan considerable que el cuadrado casi queda inscrito en el círculo.

 

Pero entonces, ¿cuál es la razón que establece entre las dos figuras? Entre las posibles soluciones hay una que ha pasado incomprensiblemente desapercibida, que destaca por su sencillez y grado de exactitud, que es mucho mayor que el que nos proporciona el método basado en la aplicación de la sección áurea. El diámetro del círculo está determinado por una simple rotación de 45º del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon. La longitud del radio del círculo (2oa) es la distancia que hay desde la base hasta el vértice superior del nuevo cuadrado (Figura 23).

Figura 23. Determinación del círculo (de color amarillo) con la rotación 45º del cuadrado (z5z6z7z8) que es igual a la altura del hombre del canon. Una forma sencilla y mucho más precisa de hallar la longitud del radio (oa y ob) que el basado en la aplicación de la sección áurea. De color blanco, las figuras del círculo y el cuadrado (z1z2z3z4) dibujadas por Leonardo.

 

La razón entre las longitudes de los lados del cuadrado y el radio del círculo que arroja este método es mucho más próxima a una proporción de 5/3 = 1,667 que al valor del Número de Oro, correspondiente a la solución de la ecuación de segundo grado (1+√5) / 2 = 1,618:

De este modo es posible trazar un círculo que es casi el dibujado por Leonardo. Partiendo del cuadrado cuyos lados miden 180,00 mm, el diámetro del círculo obtenido es de 180,00/1,656 = 108,64 mm; frente a los 109,28 mm indicados por la medida ponderada que hemos obtenido con la imagen digital del folio. Una diferencia de tan solo 0,48 mm; lo que supone una magnífica aproximación, con la ventaja de ser una solución simple que facilita su construcción (Figura 24).

 Figura 24. Detalle de la determinación del círculo a partir de la rotación de 45º del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon. Aunque es un método muy preciso, el círculo final, como se puede apreciar, es algo más pequeño que el dibujado por Leonardo y mide 108,64 mm, frente a los 109,28 mm de la media ponderada según se observa en la imagen digital (una aproximación del 99,42%).

 

No nos detendremos con más ejemplos de propuestas para hallar la figura del círculo porque ésta es la más precisa y sencilla. Lo importante es corroborar que la relación entre el círculo y el cuadrado no es el Número de Oro, es decir, la solución positiva de la ecuación (1+√5) / 2 = 1,618; sino otro cociente mucho más próximo al conocido como Número de Dios y correspondiente a una proporción de 3/5 = 0,6; cuya función inversa es 5/3 = 1,667. Es fácil confundir una razón con otra, depende del grado de precisión aplicado o que pueda ser alcanzado, de si trabajamos con centímetros o milímetros. La diferencia entre las dos razones, del orden de un 3%, es prácticamente despreciable en la mayoría de los casos, como al tener que medir la altura de una persona o determinar las dimensiones de una catedral; pero no en el caso de una cuartilla de papel con unas medidas establecidas milimétricamente. Esta precisión nos puede ayudar a distinguir si se trata de una u otra razón, pues se corresponden con modelos geométricos completamente distintos.

Veamos el grado de aproximación al círculo al que llegamos con el modelo basado en las proporciones de un rectángulo la raíz cuadrada de 2. Se consigue con un sencillo movimiento de compás. Los puntos de referencia están implícitos en el marcaje realizado en el paso anterior para hallar el cuadrado. Basta con situar el centro del compás en el punto donde el lado de éste corta la línea que divide el “marco rector” por la mitad (D2) y, con una abertura del compás hasta su lado superior (D4), trazamos un arco. Repetimos la operación con el lado opuesto. La intersección de estos arcos es el centro del círculo donde se ha de situar el ombligo (y). La medida del radio también nos la proporciona el “marco rector”, es la distancia al lado inferior del cuadrado (z1z2z3z4), que sabemos ha de ser tangente a la circunferencia que dibujemos (yz) (Figuras 25 y 26). 

Figura 25. Posición del centro del círculo (y) a partir del “marco rector” y el cuadrado hallados en el paso anterior (puntos y1 y y2).

 

Figura 26. Determinación del círculo a partir del radio que queda indicado por la distancia entre el punto hallado en el paso anterior y la base del cuadrado (yz).

 

Como sucede con el cuadrado, la figura del círculo no es del todo perfecta. Leonardo necesitó al menos dos movimientos de compás. Es por esta razón que hemos optado por considerar un valor ponderado para el diámetro, obtenido a partir de la medición de las longitudes de los ejes de las abscisas y las ordenadas y de otro par de ejes escogidos aleatoriamente (Tabla III).

 

Tabla III. Medidas ponderadas del radio del círculo según se observa en la imagen digital.

Eje

Valor 1

Eje

Valor 2 (aleatorio)

Eje

Valor 3 (aleatorio)

Media

X

109,44 mm

X1

109,31 mm

X2

109,00 mm

109,25 mm

Y

109,17 mm

Y1

109,26 mm

Y2

108,90 mm

109,11 mm

Media

109,31 mm

 

109,29 mm

 

108,95 mm

109,18 mm

Tabla III. Longitudes de los radios en la imagen digital del folio para los ejes de las abscisas y coordenadas y otros dos elegidos aleatoriamente.

 

Así tenemos que la longitud del radio oscila entre los 108,95 mm y los 109,44 mm; una diferencia en torno al medio milímetro (0,49 mm). La medida ponderada es 109,18 mm (± 0,25 mm). Con el trazado basado en las proporciones de un rectángulo raíz cuadrada de 2 obtenemos un radio que mide 109,37 mm. La desviación es de apenas 2 décimas de milímetro (0,19 mm), casi del mismo orden de magnitud que el grosor de la pluma empleada.

Partiendo del cuadrado y los puntos indicados por la intersección con el “marco rector” llegamos a un círculo idéntico al dibujado por Leonardo. El resultado se puede ver en la siguiente imagen. Hemos destacado en color rojo el área del “marco principal” (339,41 x 240,00 mm) y del “marco rector” formado por la base de la cuartilla. La aproximación a las medidas que se observan en la imagen digital del folio es del 99,83%, lo que se traduce sobre el papel en una desviación inferior a 2 décimas de milímetro (0,19 mm). En la imagen no hemos destacado las figuras del círculo y el cuadrado, ya que las son exactas a las dibujadas por Leonardo, tan solo hemos indicado los puntos de referencia necesarios para los movimientos necesarios en base al “marco rector” del rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2 (Figura 27).

Figura 27. De color rojo las líneas de apoyo del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon y el “marco rector” formado por la base del folio, que es la del rectángulo raíz cuadrad de 2, y en blanco los puntos que permiten trazar los arcos de cuya intersección se ubica el centro del círculo en el ombligo del hombre del canon.

 

La diferencia entre este modelo y el método basado en la sección áurea es que para hallar el centro del círculo partimos de la longitud de los lados del cuadrado y de los puntos indicados por las proporciones del “marco principal”, por lo que su posición en el folio y la medida de su radio se encuentran en función de dos factores en lugar de uno, lo que aumente la precisión del trazado (Figura 28).

Figura 28. Detalle de la aproximación a los centros de las figuras del cuadrado y el círculo del trazado basado en las proporciones del folio según el marcaje en función del “marco rector”.

De esta forma, la posición del ombligo queda milimétricamente establecida y el diámetro del círculo, a diferencia del obtenido con la sección áurea, se corresponde con las medidas que se desprenden del escalado digital de la imagen del folio en un 99,82%.

 

Tabla IV. Aproximación del trazado propuesto a la medida ponderada del radio del círculo.

Marco Rector

Cuadrado

 Razón

Círculo

 Ponderada

 Diferencia

 

Aproximación

x

c = 3/4x

Radio

240,00 mm

180,00 mm

1,646

109,37 mm

109,28 mm

0,09 mm

99,92%

Tabla IV. Aproximaciones a la medida ponderada del radio del círculo según el trazado propuesto.

 

Es muy improbable que, de no cumplirse la hipótesis del marco, hubiésemos logrado llegar al mismo resultado que Leonardo con una desviación de tan solo el 0,18% para la longitud del radio del círculo, y exacta para las dimensiones del cuadrado, lo que se traduce sobre el papel en un error inferior a un milímetro por cada cien; una diferencia que apenas es perceptible a simple vista. El método basado en las proporciones de un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2 es el más preciso, no solo en cuanto a la determinación de las dimensiones del círculo y el cuadrado, sino también respecto a la posición que ocupan en el folio. Es una disposición estudiada, que revela una estrategia resuelta con gran sentido práctico, de modo que se cumpliese la premisa, tan apreciada por el artista italiano, de que la simplicidad es la sofisticación definitiva. De un modelo en apariencia sencillo se infiere un conjunto de relaciones entre las partes y el conjunto que constituye una auténtica teoría de las proporciones y una clase magistral de geometría clásica. En la siguiente imagen se puede apreciar la sencillez del trazado si partimos de las referencias que nos ofrece el “marco rector” (Figura 29 y 30). 

Figura 29. Trazado del “Hombre de Vitruvio” a partir de las referencias indicadas por el formato del folio basado en un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2, el mismo que empleamos en la actualidad como estándar de las cuartillas DIN-A4. 

Figura 30. A partir de las referencias indicadas por el formato del folio basado en un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2, el mismo que empleamos en la actualidad como estándar de las cuartillas DIN-A4 (nomenclatura puntos de referencia).

 

Así tenemos que la razón que guardan las figuras del círculo y el cuadrado según el trazado propuesto es:

 

 

Más adelante nos ocuparemos de esta fracción. De momento, indicar que como era de esperar el resultado del análisis permite descartar que la razón de la posición del ombligo del hombre del canon respecto a su altura no es la sección áurea como es aceptado comúnmente, sino una fracción de 28/17 = 1,646 mucha más próxima a una proporción de 5/3 = 1,667. Cuidado porque esto es importante, ya que dar por hecho este supuesto impide prestar atención a la composición en su conjunto, lo que, como hemos podido comprobar, es un error porque desatiende la relación de las figuras del círculo y el cuadrado con el formato del folio, un aspecto esencial para la comprensión del orden interno y, por tanto, de la naturaleza de dicha vinculación.

 

 

  


 

[1] No somos los primeros en advertir que el ombligo no divide exactamente la altura del “Hombre de Vitruvio” en función de la sección áurea, sino que se trata de una razón que, aunque muy próxima, no es exactamente la correspondiente al famoso Número de Oro, es decir, 1,618. Para Stephen Skinner se trata de una razón de 1,656. Skinner, Stephen, op. cit. “Geometría Sagrada”. Luis Castaño también ha estudiado este aspecto y tampoco cree que se trate del Número de Oro, sino más bien una consecuencia de la aplicación de una cuadrícula de 24 palmas. En sus investigaciones los resultados que obtiene en relación a la razón entre la altura del hombre del canon y la posición del ombligo son de 180/110 = 1,63; 180/112,5 = 1,6 y 180/109,8 = 1,639; esta última relacionada con una unidad de 61 dedos. Castaño Sánchez, Luis, op. cit., “Metrología Histórica: Una nueva propuesta”, pp.5-10, pp. 35-36 (Figuras 8, 9, 10 11 y 12 Figura 12), op. cit.,La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio”, pp. 7-9, y op. cit., “Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci”, p. 9. (Figuras 16 y 17). Carlos M. Piera también se ocupa de esta cuestión y desarrolla un método con el que llega a una razón de 1,642. M. Piera, Carlos, “Leonardo da Vinci y la cuadratura humana”, Recopilación para la “Fundación Albert Einstein” de la república argentina, Madrid, 2002, http://www.fundacioneinstein.org/contenido/documentos/34.pdf