Capítulo 7. Determinación de la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado.

Uno de los objetivos de este trabajo, que era hallar la forma más eficaz de dibujar las figuras del círculo y el cuadrado, nos conduce ahora a la parte más importante del trabajo, determinar la razón que Leonardo establece entre ellas que, como hemos visto, tiene que ver con el orden modular basado en un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2. El trazado que hemos desarrollado, en sus dos variantes y con independencia de las dimensiones del folio, arroja el mismo resultado para todas las escalas, ya que se trata de un cálculo proporcional, idóneo para tratar de resolver el problema. Las razones son las soluciones correspondientes a las fracciones 28/17 = 1,647 para el “trazado A” y entre 43/26 = 1,654 y 48/29 = 1,655; valores todos ellos mucho más próximos a una proporción de 5/3 = 1,667 que a la razón de la sección áurea (Ver Anexo I).

 

Tabla V. Aproximaciones a la medida ponderada del radio del círculo según el trazado basado en las proporciones de un rectángulo raíz cuadrada de 2.

 

Razón

Valor

Cuadrado

Círculo

Ponderada*

Desviación *

Aproximación *

A

Sección áurea

1,618

180,00 mm

111,25 mm

109,28 mm

1,97 mm

98,23%

Imagen

1,647

109,28 mm

0,00 mm

100,00%

B

5/3

1,667

108,00 mm

-1,28 mm

101,19%

Tabla V. Aproximaciones a la medida del radio del círculo en función de las dos soluciones en función de un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2. * Diferencias respecto a la medida ponderada del radio del círculo según se observa en la imagen digital escalada.

 

Las soluciones A y B, razones de la sección áurea y proporción de 5/3, son los umbrales de la serie, aunque las desviaciones en la medida del radio del círculo que se obtiene para estos valores a partir de un cuadrado cuyos lados miden 180,00 mm son demasiado considerables, siendo apreciables claramente la diferencias respecto al dibujado por Leonardo (Figura 45). 

Figura 45. Detalle de la aproximación a la medida ponderada del radio del círculo a partir de una fracción de 5/3 = 1,667, un círculo con un radio de 108,00 mm (de color amarillo), y de la sección áurea, con la que se obtiene un radio de 111,25 mm (de color rojo).

 

Si descartamos los valores de la sección áurea y la proporción de 5/3, son tres las posibles soluciones a la razón entre las dos figuras según el trazado basado en las proporciones de un rectángulo raíz cuadrada de 2 (Tabla VI).

 

Tabla VI. Aproximaciones a la medida ponderada del radio del círculo según las dos variantes del trazado en función de las proporciones de un rectángulo raíz cuadrada de 2.

Razón

Valor

Cuadrado

Círculo

Ponderada*

Desviación *

Aproximación *

Trazado A

1,646

180,00 mm

109,37 mm

109,28 mm

0,09 mm

100,08%

28/17

1,647

109,29 mm

0,01 mm

100,01%

Imagen

1,647

109,28 mm

0,00 mm

100,00%

43/26

1,654

108,84 mm

-0,44 mm

99,59%

Trazado B

1,654

108,82 mm

-0,46 mm

100,42%

48/29

1,655

108,75 mm

-0,53 mm

99,52%

Tabla VI. Aproximaciones a la medida del radio del círculo en función de las dos soluciones de trazado en función de un rectángulo raíz cuadrada de 2. * Diferencias respecto a la medida ponderada del radio del círculo según se observa en la imagen digital escalada (109,28 mm).

 

Sobre la imagen digital, el círculo correspondiente a la solución del “trazado A” es idéntico al dibujado por Leonardo (de color amarillo), y tiene un radio cuya longitud es 109,37 mm; mientras que el que se desprende del “trazado B” (de color rojo), es algo más pequeño, su radio mide 108,82 mm (Figura 46). 

Figura 46. Diferencia entre los círculos correspondientes a los trazados propuestos en función de un rectángulo raíz cuadrada de 2. De color amarillo el que se obtiene con el “trazado A” y mide 109,37 mm, idéntico al dibujado por Leonardo, y de color rojo el círculo correspondiente al “trazado B” cuyo radio mide 108,82 mm.

 

Como se puede apreciar, la diferencia entre los radios de los círculos de las dos soluciones es muy pequeña (0,55 mm), sobre el papel casi del mismo orden que el grosor de una pluma, sin olvidar que, regla y compás en mano, ir más allá de un milímetro por metro es algo complicado, ni que decir si son décimas de milímetro. Recordemos que la discrepancia solo es en cuanto al radio del círculo, pues el cuadrado se dibuja de la misma forma. Las figuras del “trazado A” son exactas respecto a lo que se observa en la imagen digital, la longitud del radio es la que más se acerca a la medida ponderada, ya que, y como hemos indicado, la figura del círculo no es del todo perfecta, Leonardo necesitó al menos un par de movimientos de compás para completarla.

La forma de dibujar el círculo con el “trazado B” no es tan precisa, todo y que no deja de ser una aproximación magnífica, superior incluso a la solución basada en la rotación 45º del cuadrado. La fracción 48/29 = 1,655 es interesante. No somos los primeros que hemos llegado a este valor. Stephen Skinner escribe que «el círculo de Leonardo se ha trazado tomando como centro el ombligo, de acuerdo con la suposición de que este punto divide la altura de un hombre según la razón de la sección áurea. Leonardo era un maravilloso observador y dibujó su Hombre de Vitruvio tomando modelos reales, pero el resultado fue una razón de 1,656» [1].

En efecto, la fracción de 48/29 tiene relación con la altura del hombre del canon como consecuencia de que Leonardo empleara el sistema fraccionario vitruviano no solo para la representación del canon de la figura humana, sino también para la ordenación modular de la composición en base al formato del folio. Según el canon la altura del hombre es de 24 palmas, o también 4 codos de 6 palmas cada uno; tal y como escribió en la nota bajo la regla y se cuidó de indicar con unos segmentos trazados a la altura de las rodillas, del sacro y del pecho (Figura 47).

Figura 47. División del cuadrado que es igual a la altura del hombre en 24 palmas, o 4 codos de 6 palmas cada uno indicados por las divisiones del canon descrito por Vitruvio en su tratado de arquitectura (de color amarillo).

 

Las divisiones en los extremos de la regla son la base del sistema fraccionario antropométrico del canon descrito por el ingeniero romano. Carlos M. Piera y Luis Castaño también han estudiado esta cuadrícula en relación con la posición del ombligo, aunque con otros resultados [2]. Si consideramos una cuadrícula de 24 x 2 = 48 medias palmas (7,5 mm/2 = 3,75 mm), el centro del cuadrado queda situado a 24 de estas unidades (24 x 3,75 mm = 90,00 mm) y el del círculo a 29 (29 x 3,75 mm = 108,75 mm). Así tenemos la fracción 24/29 = 0,828; que multiplicada por 2 es 48/29 = 1,655 (Figura 48). 

Figura 48. Posiciones del sacro y el ombligo correspondientes a los centros del cuadrado (24 unidades) y el círculo (29 unidades) en base a una cuadrícula de 48x48 unidades de 3,75 mm (1/10 de media palma) [3].

 

La distancia entre la posición del ombligo y la del sacro es de 5 medias palmas o, lo que es lo mismo, 10 veces la unidad mínima del sistema, es decir, 10 dedos (10 x 1,875 mm = 18,75 mm). La estrategia geométrica que habría seguido Leonardo inspirándose en el sistema fraccionario del canon y en función de un rectángulo raíz cuadrada de 2 explicaría que los centros de las figuras en base a una cuadrícula de 48 medias palmas estuviesen en consonancia con los puntos indicados por los “marcos rectores”. De todos modos, no deja de ser una solución más bien teórica al problema de cómo se trazan las figuras, requiere haber dibujado antes el cuadrado, por lo que no explica su posición en el folio. Por otro lado, hay que indicar al menos 24 divisiones sobre los lados del cuadrado, lo que aumenta de forma considerable la posibilidad de cometer errores, siendo mucho más sencillo el trazado propuesto.

A la espera de nuevos estudios que puedan confirmar estos resultados, podemos concluir que la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado según se desprende del trazado basado en las proporciones del rectángulo raíz cuadrada de 2, considerando que la medida de los lados del cuadrado es 180,00 mm, es según la solución más precisa (“trazado A”):

A esta fracción le sigue, como valor más cercano a la medida ponderada del radio del círculo y umbral del modelo de trazado, la que se desprende de la inversión del “marco rector” para determinar el centro de la figura (“trazado B”):

Por encima y debajo de estos valores, si nos atenemos a lo que se observa en la imagen digital, cualquier otra solución ya presenta desviaciones demasiado considerables para que sean debidas a un fallo de Leonardo o, por parte nuestra en el escalado de la imagen digital, aunque es bastante improbable puesto que las medidas que hemos empleado están cotejadas y, por otra parte, se corresponden con lo que indican los cálculos de las operaciones realizadas con la regla y el compás.

 

 

 


 

[1] Skinner, Stephen, op. cit. “Geometría Sagrada”.

[2] Castaño Sánchez, Luis, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta; op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio; op. cit., Estudio sobre el “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci”; M. Piera, Carlos, op.cit. “Leonardo da Vinci y la cuadratura humana”.

[3] Castaño Sánchez, Luis, op. cit., “Metrología Histórica: Una nueva propuesta”, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12; op. cit., “La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio” y op. cit., “Estudio sobre el “Hombre de Vitruvio” de Leonardo da Vinci”. Franco Taboada, Manuel, op. cit., “La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio”.