Capítulo 8. Conclusiones del análisis geométrico de la ilustración.

Los problemas derivados de la práctica de los oficios constituyeron hace miles de años el punto de partida de las técnicas basadas en el rigor de la geometría. Los agrimensores del antiguo Egipto descubrieron que un ángulo recto puede obtenerse con los valores 3, 4 y 5 tomados como los lados de un triángulo rectángulo, una fórmula que Pitágoras convirtió en el teorema por excelencia, convirtiendo la observación empírica en reflexión científica [1]. Sobre el año 320 a.C., estos conocimientos fueron sistematizados por Euclides, momento en el que se establecieron las bases de la geometría básica del plano, también conocida como de regla y compás, pues solo son necesarios estos instrumentos para su desarrollo [2].  El pensamiento de Platón también influyó de forma notable en la definición del concepto de geometría al plantear en el Timeo un mito cosmogónico de raíz pitagórica según el cual ciertas relaciones numéricas reflejan la estructura armónica del cosmos y, como consecuencia, la ciencia y el arte debían regirse por dichas razones.

Leonardo, buen conocedor de Euclides y el filósofo de Atenas, escribió que «no existe ciertamente nada donde las ciencias matemáticas no puedan ser aplicadas», y recurrió a modelos geométricos para la descripción de observaciones físicas, mecánicas, aerostáticas, astronómicas y arquitectónicas. Así, por ejemplo, para estudiar los fenómenos ópticos se sirvió de los cuerpos piramidales y las reglas de la perspectiva; y para describir los movimientos de las fuerzas musculares empleó el análisis de las superficies curvas. Su representación del “Hombre de Vitruvio” es la obra de un consumado anatomista que estaba acostumbrado a emplear la geometría como herramienta para describir aquello que observaba. Es una de sus ilustraciones más célebres, que ha pasado a la historia como símbolo de las principales ideas del pensamiento renacentista, entre ellas la del hombre como centro del cosmos y medida de todas las cosas; y como ejemplo de una perfecta combinación entre arte y ciencia.

Cuando el artista italiano se planteó la forma de dibujar un hombre con las proporciones indicadas por el canon, de forma que quedase inscrito en un cuadrado y un círculo, dos figuras que desde la antigüedad han sido expresión de la coordinación entre el micro y el macrocosmos, quiso ir más allá de la cuestión antropométrica, dejando constancia de que las proporciones de la figura humana forman parte de un conjunto de relaciones mucho más extenso, tratando de expresar la idea de que el ser humano y el universo son aspectos de una misma y poliédrica realidad, dos dimensiones interrelacionadas de forma que las leyes que establecen las proporciones de las diferentes partes del cuerpo humano son las mismas que se dan en la naturaleza.

Para ello empleó la herramienta que mejor conocía y, partiendo de la tradición de la geométrica clásica, llegó a una solución original. Su ilustración es la más sugestiva de cuantas representaciones de canon se conocen, y no solo desde un punto de vista exclusivamente antropométrico, sino desde una perspectiva que engloba desde la escultura a la arquitectura, pasando por la pintura y la música; pues en todas estas disciplinas el orden viene dado por estructuras geométricas y matemáticas subyacentes. Para Reudenbach, no cabe duda de que el interés que despierta se debe a que el significado de las figuras del círculo y el cuadrado hay que buscarlo en un plano estrictamente matemático y geométrico [3]. Respecto a esta relación entre arte y ciencia mediante la unión de las dos figuras en la ilustración de Leonardo, Román Hernández (2002) escribe:

El concepto de hombre microcosmos proporciona a los teóricos del Renacimiento la legitimación para un canon de belleza derivado como sabemos de la figura humana. La representación del hombre dentro del círculo y del cuadrado es, ya no sólo el diagrama de una coordinación elemental del hombre y del cosmos o la verdad de una historia sagrada como en el medievo, sino en primer lugar el símbolo de un canon de belleza resultante de la armonía del mundo. La imagen del homo ad quadratum y ad circulum es, en cierto modo, la encarnación de un arte unido a las matemáticas y a la geometría, expresión de la base racional de la belleza y por tanto ciencias fundamentales para la imitatio naturae[4]. (p 14)

En relación a las influencias del tratado de arquitectura del ingeniero romano, según Franz Zöllner, la representación recoge tres aspectos fundamentales del primer capítulo del Libro III del tratado de arquitectura: la influencia del sistema griego de base duodecimal basado en medidas antropomórficas; el valor de la geometría al inscribir el hombre del canon en las figuras de un círculo y un cuadrado; y la función de algunos instrumentos técnico-arquitectónicos como la regla, la escuadra y el compás.

En este sentido, la ilustración forma parte a una tradición geométrica cuya máxima expresión es la ciencia de la construcción porque, como escribe Frank Zöllner (1995), el modelo que describe las proporciones del cuerpo humano es también aplicable al campo de la arquitectura:

En el contexto de la revaloración en el Renacimiento de la interpretación matemática de Dios y del mundo, el “Hombre de Vitruvio” es una figura simbólica a partir de la cual se puede elaborar una teoría sobre el hombre como microcosmos, según la cual, como creación e imagen divina, es un reflejo de la perfección y la armonía del universo. La figura del hombre inscrita en un círculo y un cuadrado simboliza la correspondencia matemática entre micro y macrocosmos. Y para Wittkower también símbolo de la arquitectura, pues un edificio puede ser entendido metafóricamente como un cuerpo humano [5] (p 333).

Como indica Vitruvio «no puede ningún edificio estar bien compuesto sin la simetría y proporción, como lo es un cuerpo humano bien formado» [6]. Las reglas de proporción vinculan formas con patrones determinados por la simetría y están asociadas al cumplimiento de una serie de normas que garantizan el equilibrio y la armonía del conjunto. El más alto nivel de orden se alcanza con el menor número de formas posible, y agrada a la vista no porque sea el producto de las formas en sí mismas, sino porque es resultado de ciertas combinaciones matemáticas, como sucede en la escala musical en donde los intervalos armónicos resultan de dividir una cuerda en medios, tercios y cuartos [7]. Del mismo modo, y siguiendo el canon descrito por el ingeniero romano, Leonardo sitúa el sistema fraccionario antropométrico en la base de un modelo de cálculo de proporciones cuyas razones están sujetas a un orden superior que viene dado por las propiedades geométricas del círculo y el cuadrado y por su relación con un rectángulo raíz cuadrada de 2 [8]. Su particular concepción introduce una manifiesta asimetría al combinar las posiciones en reposo y movimiento del cuerpo humano en función de dos figuras que sobre un mismo eje tienen centros distintos: el del Homo ad Circulum situado en el ombligo y el del Homo ad Quadratum en el sacro. Las claves de esta disposición radican en la comprensión de dicha asimetría que, como hemos visto, no está determinada por la sección áurea, sino por un valor que se sitúa, a la espera de que otros trabajos puedan confirmar estos resultados, entre las fracciones de 28/17 = 1,646, 43/26 = 1,654 y 48/29 = 1,655.

El trazado que hemos desarrollado en este trabajo arroja dos soluciones muy precisas al problema de la determinación de la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado, y revela que dicha razón a su vez forma parte de un conjunto mayor que viene determinado por el formato del folio. Con independencia de las dimensiones de la cuartilla mientras ésta mantenga una proporción igual a la raíz cuadrada de 2, es posible trazarlas con apenas una docena de movimientos. Sin olvidar lo más importante, y es que la solución también da razón de su posición en el folio, algo que hasta ahora no había sido explicado. Solo son necesarias tres operaciones: el establecimiento de las líneas guía en función de los “marcos rectores”, la determinación a partir de éstas de la posición de los centros de las figuras y, finalmente, un tercer movimiento para hallar sus dimensiones. De esta manera, queda resuelto el enigma geométrico con el comenzábamos el artículo, que consistía en:

Escoger una cuartilla de modo que se puedan trazar, como yo he hecho, las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe el hombre del canon, pero con el menor número de pasos que sea posible.

En manos de Leonardo, el enigma se traduce en un trazado que abruma por su profunda simplicidad desde el momento en que establece los ejes de simetría de la ilustración. Todos los estudios que se han realizado no han tenido en cuenta el formato del folio, y parten de una de las figuras para llegar a la otra. El trazado en base a la inversión de los “marcos rectores” permite hacerlo sin importar cuál dibujemos primero, partiendo de las proporciones del “marco principal” basadas en un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2, lo que significa que la razón entre el círculo y el cuadrado no tiene que ver únicamente con las figuras en sí mismas, sino que además está determinada por su vinculación con el “marco principal” de la composición, que es la que confiere la armonía al conjunto de la obra y es donde radica su importancia.

La armonía es un concepto abstracto, que adquiere forma numérica mediante las leyes de proporción, es decir, mediante la concordancia matemática entre las partes y el conjunto. La ilustración del “Hombre de Vitruvio” refleja a la perfección este concepto. El objetivo de Leonardo a la hora de plasmar el canon era, en palabras del propio ingeniero romano, «establecer a partir de un módulo constante y calculado las correspondencias entre las partes de una obra y conjunto, es decir, siguiendo una serie de reglas empíricas determinadas por modulaciones aritméticas». Así es como se desarrolla el trazado, del mismo modo a cómo lo hacen las progresiones geométricas, en donde la razón de un término a otro de la serie se obtiene con el número inmediatamente anterior solo que, trasladando dichas operaciones al papel mediante la regla y el compás. Operando de esta manera, habría garantizado un orden que le habría permitido encadenar los movimientos que son necesarios para dibujar las dos figuras a partir de los puntos de referencia indicados por los “marcos rectores”, sintetizando en un trazado, que sorprende por su aparente simplicidad, las claves de una antigua tradición según la cual todo en la naturaleza puede ser expresado mediante el lenguaje de las matemáticas.

Su ilustración no es solo la representación de un canon sobre las proporciones ideales del cuerpo humano, también es un estudio sobre la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado en base a las proporciones de un rectángulo raíz cuadrada de 2; un modelo que conjuga continente y contenido como si fuesen las dos caras de la misma moneda, consecuencia de una cuidadosa planificación que fue ejecutada con una precisión admirable, y de la que se infiere un teorema geométrico-matemático que nos descubre una dimensión desconocida de la ilustración y abre el camino a nuevos trabajos más centrados en las consecuencias que se desprenden de la partida de ajedrez que Leonardo propone con su representación del canon vitruviano. Como hemos visto, al contemplar la obra en su conjunto resulta tanto o más interesante lo que oculta que lo que nos muestra el genio italiano, quien era todo un maestro en el arte de revelar secretos de forma disimulada. El orden interno de la ilustración es una clase magistral sobre la geometría clásica de regla y compás, una construcción que se asemeja a un poliedro de múltiples caras donde cada una refleja, como si se tratase de un holograma, el conjunto de relaciones del modelo de proporciones al que pertenecen sus formas.

 

 

 


 

[1] Durante la Edad Media, los conocimientos de geometría no se tomaban como valores en sí mismos, sino como una herramienta de control formal. Así, por ejemplo, la incorporación de números enteros a la geometría de ciertos polígonos permitió trabajar gráfica y métricamente dando entrada a cálculos proporcionales que salvaron el escollo de tener que manejar los números irracionales implícitos en dichas geometrías. Es posible trazar un triángulo equilátero sin utilizar el compás mediante una regla y una relación de 7 unidades de lado por 6 unidades de altura; lo que implica una aproximación a la raíz cuadrada de tres que tiene un error de tan solo 18 milésimas; o mediante la relación 8/7, que es la misma aproximación, pero por exceso. Lo mismo ocurre con las razones 7/5 y 10/7, que son las aproximaciones, por defecto y exceso, a la raíz cuadrada de 2, y cuyo error es inferior a una centésima.

[2] Se trata de una geometría compuesta por rectas, curvas, ángulos, polígonos y círculos; vertebrada por criterios de semejanza y axiomas que sirven para resolver problemas relacionados con la medición de las extensiones y las superficies. Euclides es considerado el padre de la geometría. Su tratado Los Elementos ha sido la obra más consultada en la historia después de los textos sagrados de la Biblia y el Corán. Abelardo de Bath hizo una primera traducción del árabe al latín en torno al año 1070. Los teoremas geométricos de Euclides se mantuvieron casi sin variaciones hasta bien entrado el siglo xviii.

[3] H. Flasche, “Similitudo templi. Zur Geschichte einer Metapher Deutsche Vierteljahrschrift für Literaturwissenschaft und Geistesgeschichte”, 1949, pp. 81-125; cit. por REUDENBACH, p. 669.

[4] Román Hernández, González, “Interpretaciones y especulaciones acerca del concepto vitruviano del homo ad circulum y homo ad quadratum”. Artículo publicado en Bellas Artes. Revista de Artes Plásticas, Estética, Diseño e Imagen, nº 0, Servicio de publicaciones Universidad de La Laguna, La Laguna, 2002, p 14.

[5] Frank Zöllner, L’uomo vitruviano di Leonardo Da Vinci, Rudolf Wittkower e l’Angelus Novus di Walter Benjamin. Estratto da «Raccolta Vinciana», Fascículo XXVI, 1995, p. 333.

[6] El del capítulo I del libro III del tratado de Vitruvio se presenta como una teoría sobre las proporciones del cuerpo humano. Aunque es una teoría que aparece en una obra de carácter arquitectónico, establece, por un lado, una relación con unidades metrológicas y, por otro, con una teoría numérica basada en ciertos conceptos pitagóricos. Román Hernández, González, “El legado de Vitruvio III. 1: La primera aportación numérica al canon de proporción”. Artículo publicado en UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, Matemáticas: belleza y arte, nº 40, ed. Graó, Julio, agosto, septiembre, Barcelona, 2005, págs. 99-109.

[7] «La importancia de la armonía musical para los arquitectos del Quattrocento y del Cinquecento, el significado de la planta central de las iglesias que se construyeron en el Renacimiento y el “Hombre de Vitruvio” inscrito en un cuadrado y un círculo como canon antropométrico y su importancia, según Wittkower y otros investigadores, son símbolos de la arquitectura renacentista al tratarse de un canon de proporciones.» Zöllner, Frank, “L’uomo vitruviano di Leonardo Da Vinci, Rudolf Wittkower e l’Angelus Novus di Walter Benjamin”. Estratto da «Raccolta Vinciana», Fascículo XXVI, p. 331.

[8] «El dibujo de Leonardo ilustra el concepto vitruviano que presenta como regla canónica el cuerpo humano con perfectas proporciones, aquel que se inscribe en el cuadrado y en el círculo, por lo que no debe considerarse este dibujo como la representación del microcosmos, sino como un estudio de proporciones. este dibujo difiere enormemente de aquellas ilustraciones aparentemente idénticas que aparecen en los manuscritos de la Edad Media, porque no es el resultado de la especulación cosmológica, sino de los numerosos experimentos antropométricos que realizara el artista». Liber Divinorum Operum, Parte Iª, visión IV, para. 15, P. L. 197, col 814c; op. cit., F. SAXL, La vida de las imágenes, Alianza Forma, Madrid, 1989, ilust. 36a. Existe edición en castellano por V. Cirlot, Vidas y visiones de Hildegarda von Bingen, Siruela, Madrid, 1997.